No Ensino Médio, são estudados dois tipos de progressão: aritmética (PA) e a geométrica (PG).
A ideia de progressão está relacionada com avanço e sucessão. Na Matemática, caracterizamos a progressão como uma série numérica de quantidades, ou seja, que ocorre de forma sucessiva, uma após a outra. Ela sempre é estabelecida por uma lei de formação, que é uma fórmula matemática.
Ao subirmos uma escada, temos a ideia da progressão de uma sequência, visto que um degrau é dado após o outro.
PA e PG são sequências finitas ou infinitas de números que seguem uma lógica ou razão. PA é a sigla para progressão aritmética, enquanto PG significa progressão geométrica.
Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.
(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a1 = 5
a2 = 5 + 2 = 7
a3 = 7 + 2 = 9
a4 = 9 + 2 = 11
a5 = 11 + 2 = 13
a6 = 13 + 2 = 15
a7 = 15 + 2 = 17
Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.
P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.
P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais.
P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.
1ª propriedade:
Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
2ª propriedade:
Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.
3ª propriedade:
Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética do primeiro termo com o último termo
Agora, vejamos como encontrar a razão de uma PA. É simples, se você tiver pelo menosdois termos consecutivos. Se você souber an e também a(n-1) ou a(n+1), basta fazer a subtração entre o termo de maior posição e seu antecessor. Calcule:
r = an - a(n-1) ou r = a(n+1) - an
Caso não saiba dois termos consecutivos, use a fórmula do termo geral, isolando r. Desta forma:
R = (an - a1)/(n - 1)
Essa é uma questão muito comum. Como saber a soma dos termos de uma PA (Sn), sem ter que calcular de cabeça cada termo e somar, correndo risco de errar? Aplicando a seguinte fórmula:
Sn = n . (a1 + an)/2
Cabe ressaltar que as PAs infinitas não têm uma fórmula para a soma dos termos, pois é impossível determiná-la.
E mais uma fórmula é importante para que você domine o assunto da PA: a fórmula do termo central ou termo médio da PA (TM). Como saber qual o número que ocupa a posição do meio em uma PA com n termos? Tome nota:
TM = (a1 + an)/2
Uma progressão geométrica é uma sequência numérica em que a divisão de um elemento pelo elemento anterior resulta sempre em um mesmo valor, a razão.
Você pode classificar uma PG da mesma forma que uma PA. Confira!
Tem número finito de termos. Por exemplo, a PG de 5 termos, com a1 = 1 e q = 10:
PG (1, 10, 100, 1000, 10000)
Já a PG infinita é aquela que está em um domínio infinito, sem especificação da quantidade de termos. Veja a PG com a1 = 1 e q = 2:
PG (1, 2, 4, 8, 16...)
Na PG crescente, cada termo é maior que o anterior. Isso acontece quando:
O termo inicial é maior que zero e a razão é maior que 1 (a1 > 0 e q > 1) - assim, os números serão sempre positivos e cada vez maiores;
O termo inicial é menor que zero e a razão está entre 0 e 1 (a1 < 0 e 0 < q < 1) - assim, ao multiplicar o número negativo pela razão, o próximo número será menor em módulo, mas estará mais próximo de zero e, portanto, crescendo.
Já a PG decrescente é aquela em que cada termo é menor que o antecessor. Ela acontece em duas situações:
O primeiro termo é negativo e a razão é maior que 1 (a1 < 0 e q > 1) - assim, os próximos números serão negativos com módulo cada vez maior, ou seja, mais distantes de zero;
O primeiro termo é positivo e a razão está entre zero e um (a1 > 0 e 0 < q < 1) - isso vai gerar números sempre positivos, mas cada vez menores.
Na PG constante, a razão é igual a 1 e cada termo é igual ao anterior.
Essa PG alterna o sinal de cada membro quando o primeiro deles é diferente de zero e a razão é negativa (a1 ≠ 0 e q < 0).
Acontece quando o primeiro termo é diferente de zero, mas a razão é zero, fazendo com que os demais também sejam nulos (a1 ≠ 0 e q = 0).
N-ésimo termo da PG
A fórmula do termo geral ou do N-ésimo termo da PG é a seguinte:
an = a1 . q(n-1)
Para calcular a razão da PG, dividimos dois termos consecutivos: o último fica no numerador, e seu antecessor no denominador. Ou seja:
q = a(n+1)/an
Mas, sem conhecer dois termos consecutivos, podemos fazer o cálculo usando o termo geral da PG, substituindo os outros valores e encontrando q:
an = a1 . q(n-1)
Para saber quanto dá a soma dos termos de uma PG (Sn), anote a fórmula:
Sn = a1 . (qn - 1)/(q - 1)
A PG infinita permite calcular a soma dos termos (S). A fórmula é a seguinte:
S = a1/(1 - q)
No esqueminha ao lado podemos ver alguns canais no YouTube que são os "queridinhos" de muitos estudantes. Vale lembrar que vocês também podem conferir o nosso próprio canal no YouTube: matematicando97Para esses métodos funcionarem é preciso dedicação e bastante organização!
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